Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|x+b，給出下列命題：
①當a=0時，f（x）的圖象關(guān)于點（0，b）成中心對稱；
②當x＞a時，f（x）是遞增函數(shù)；
③f（x）=0至多有兩個實數(shù)根；
④當0≤x≤a時，f（x）的最大值為．
其中正確的序號是________．

Answer 1

①②④
分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對各個選項加以判斷．利用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，可得①正確；利用二次函數(shù)圖象及其單調(diào)性，得出②正確；舉出一個反例，可得③不正確；利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，求函數(shù)的最值可得出④正確．
解答：對各個選項分別加以判別：
對于①，當a=0時，f（x）=|x|x+b，可得f（-x）=-|x|x+b
∴f（x）+f（-x）=2b，可得f（x）的圖象關(guān)于點（0，b）成中心對稱；
對于②，當x＞a時，f（x）=x（x-a）+b，圖象的對稱軸為，開口向上
因此在對稱軸的右側(cè)為增函數(shù)，所以當x＞a時，f（x）是遞增函數(shù)；
對于③，可以取a=3，b=-2時，f（x）=0有三個實數(shù)根：
，故③不正確；
對于④，當0≤x≤a時，f（x）=-x²+ax+b
當x=時，函數(shù)的最大值為f（）=．
故答案為：①②④
點評：本題以函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性為載體，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題，熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵所在．