Question

如圖：已知平面α∥平面β，點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)，點(diǎn)C、D在β內(nèi)，直線(xiàn)AB與CD是異面直線(xiàn)，點(diǎn)E、F、G、H分別是線(xiàn)段AC、BC、BD、AD的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）平面EFGH∥平面β．

Answer 1

證：（Ⅰ）∵點(diǎn)E、F是線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，
又∵G、H是線(xiàn)段BD、AD的中點(diǎn)，∴GH∥AB，
∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）∵平面α∥平面β，點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)，∴AB∥平面α
設(shè)平面ABC與平面β的交線(xiàn)為CP，
∵直線(xiàn)AB與CD是異面直線(xiàn)，
∴CP與CD是交線(xiàn)，
∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，
∴EF∥CP，∴EF∥平面β，
∵點(diǎn)E、H是線(xiàn)段AC、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥CD，∴EH∥平面β，
因此：平面EFGH∥平面β．
分析：（Ⅰ）根據(jù)中位線(xiàn)定理可知EF∥AB，GH∥AB，從而EF∥GH，根據(jù)公理可知兩平行線(xiàn)確定一平面，則E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）根據(jù)平面α∥平面β，點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)，則AB∥平面α，設(shè)平面ABC與平面β的交線(xiàn)為CP，根據(jù)AB∥平面α，則AB∥CP，又EF∥AB，則EF∥CP，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可知EF∥平面β，根據(jù)中位線(xiàn)定理可知EH∥CD，從而EH∥平面β，最后根據(jù)面面平行的判定定理可平面EFGH∥平面β．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明兩個(gè)平面平行的方法：在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條條相交的直線(xiàn)和另一個(gè)平面平行，屬于基礎(chǔ)題．