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6.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,且該三角形的周長為6
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓C的左右焦點(diǎn),若橢圓C的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形ABCD的一組對邊過點(diǎn)F1和F2,求這個(gè)平行四邊形的面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由題意可得:b=3c,2a+2c=6,a2=b2+c2,解出即可得出.
(II)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l:x=ty+1與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與橢圓方程聯(lián)立得:(3t2+4)y2+6ty-9=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、平行四邊形面積、函數(shù)單調(diào)性,能求出平行四邊形面積的最大值.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得:b=3c,2a+2c=6,a2=b2+c2,
解得a=2,c=1,b=3
∴橢圓C的方程為x24+y23=1.
(II)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l:x=ty+1與橢圓交于A,B兩點(diǎn),
{x=ty+13x2+4y2=12,整理,得:(3t2+4)y2+6ty-9=0,
∴y1+y2=6t3t2+4,y1y2=93t2+4,
∴|y1-y2|=y1+y224y1y2=6t3t2+42+363t2+4=12t2+13t2+4,
∴S△AOB=SOF1A+SOF1B=12|y1-y2||OF|=6t2+13t2+4,
橢圓C的內(nèi)接平行四邊形面積為S=4S△OAB=24t2+13t2+4
令m=1+t2≥1,則S=f(m)=24m3m2+1=243m+1m,
注意到S=f(m)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,∴Smax=f(1)=6,
當(dāng)且僅當(dāng)m=1,即t=0時(shí)等號成立.故這個(gè)平行四邊形面積的最大值為6.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長公式、三角形面積計(jì)算公式、換元法、函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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