分析 (Ⅰ)由題意可得:b=√3c,2a+2c=6,a2=b2+c2,解出即可得出.
(II)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l:x=ty+1與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與橢圓方程聯(lián)立得:(3t2+4)y2+6ty-9=0,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、平行四邊形面積、函數(shù)單調(diào)性,能求出平行四邊形面積的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由題意可得:b=√3c,2a+2c=6,a2=b2+c2,
解得a=2,c=1,b=√3.
∴橢圓C的方程為x24+y23=1.
(II)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l:x=ty+1與橢圓交于A,B兩點(diǎn),
則{x=ty+13x2+4y2=12,整理,得:(3t2+4)y2+6ty-9=0,
∴y1+y2=−6t3t2+4,y1y2=−93t2+4,
∴|y1-y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√(−6t3t2+4)2+363t2+4=12√t2+13t2+4,
∴S△AOB=S△OF1A+S△OF1B=12|y1-y2||OF|=6√t2+13t2+4,
橢圓C的內(nèi)接平行四邊形面積為S=4S△OAB=24√t2+13t2+4.
令m=√1+t2≥1,則S=f(m)=24m3m2+1=243m+1m,
注意到S=f(m)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,∴Smax=f(1)=6,
當(dāng)且僅當(dāng)m=1,即t=0時(shí)等號成立.故這個(gè)平行四邊形面積的最大值為6.
點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長公式、三角形面積計(jì)算公式、換元法、函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12π | B. | 9π | C. | 4\sqrt{3}π | D. | \sqrt{3}π |
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A. | (-1,0) | B. | (0,1) | C. | (1,2) | D. | (2,3) |
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A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①③ | D. | ③④ |
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A. | \frac{1}{225} | B. | \frac{1}{300} | C. | \frac{1}{450} | D. | 以上全不對 |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 6 | D. | 9 |
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