Question

已知函數(shù)f（x）=且f（1）=2，
（1）判斷并證明f（x）在定義域上的奇偶性．
（2）判斷并證明f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，f（1）=2，
∴a=1
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}；
又∵f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在定義域上是奇函數(shù)．
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+）-（x₂+）
=（x₁-x₂）+（-）
=（x₁-x₂）（1-）
=（x₁-x₂）（），
∵1＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．
分析：（1）依題意，可求得a=1，利用奇偶函數(shù)的定義即可判斷f（x）在定義域上的奇偶性；
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判斷即可．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查分析與推理能力，屬于中檔題．