Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a+blnx}{x+1}$在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有xf（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式的導(dǎo)數(shù)，得到$\frac{2x-xlnx}{x+1}$＜m，令g（x）=$\frac{2x-xlnx}{x+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{\frac{x}（x+1）-（a+blnx）}{{（x+1）}^{2}}$，
而點(diǎn)（1，f（1））在直線x+y=2上，∴f（1）=1，
又直線x+y=2的斜率為-1，∴f′（1）=-1，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=1}\\{\frac{2b-a}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\frac{2-lnx}{x+1}$（x＞0），由xf（x）＜m，得：$\frac{2x-xlnx}{x+1}$＜m，
令g（x）=$\frac{2x-xlnx}{x+1}$，g′（x）=$\frac{1-x-lnx}{{（x+1）}^{2}}$，
令h（x）=1-x-lnx，則h′（x）=-1-$\frac{1}{x}$＜0，（x＞0），
∴h（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，
從而當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，
故g（x）_max=g（1）=1，
要使$\frac{2x-xlnx}{x+1}$＜m成立，只需m＞1，故m的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．