Question

已知函數(shù)f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)的增區(qū)間；
（3）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得它的最小正周期和最大值．
（2）函數(shù)f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)y=sin（2x-

π

4

）的單調(diào)區(qū)間相同．令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到所求的增區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得它的最小正周期為

2π

2

=π，最大值為1+

2

．
（2）函數(shù)f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)y=sin（2x-

π

4

）的單調(diào)區(qū)間相同．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
故所求的增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．
（3）將y=sinx的圖象先向右平移

π

4

個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

 （縱坐標(biāo)不變），然后把縱坐標(biāo)伸長為原來的

2

倍（橫坐標(biāo)不變），
再向上平移1個單位長度，可得f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的圖象．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最值、單調(diào)增區(qū)間以及它的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．