Question

（2013•濰坊一模）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且E為BC中點(diǎn)，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使二面角A-EF-D等于60°．
（I）設(shè)這P為AD的中點(diǎn)，求證：CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）求直線AF與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取AF中點(diǎn)Q，連接EQ、PQ，利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件證出四邊形PQEC是平行四邊形，可得CP∥EQ，再由線面平行的判定定理，即可得到CP∥平面ABEF；
（II）根據(jù)折疊后仍有EF⊥AF且EF⊥FD，可得EF⊥平面ADF且∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角．過(guò)A作AO⊥FD于O，平面CDFE內(nèi)作OG∥EF交EC于G，可得直線OG、OD、OA兩兩互相垂直．因此分別以O(shè)G、OD、OA所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．算出F、A、D、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

AF

、

AD

和

CD

的坐標(biāo)，根據(jù)垂直向量數(shù)量積為零，建立方程組算出平面ACD的一個(gè)法向量為

n

=（1，1，

3

），用夾角公式算出

n

、

AF

夾角的余弦，最后根據(jù)直線與平面所成角的性質(zhì)，得到

n

、

AF

夾角余弦的絕對(duì)值即為直線AF與平面ACD所成角的正弦值．

解答：解：（I）取AF中點(diǎn)Q，連接EQ、PQ
∵QP是△ADF的中位線，∴QP=DF且QP=

1

2

DF，
又∵EC∥DF且EC=

1

2

DF，
∴QP∥EC且QP=EC，可得四邊形PQEC是平行四邊形，
可得CP∥EQ
∵CP?平面ABEF，EQ?平面ABEF，∴CP∥平面ABEF；
（II）根據(jù)題意，折疊后仍有EF⊥AF，EF⊥FD
∴∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角，∠AFD=60°
∵AF、FD是平面ADF內(nèi)的相交直線，∴EF⊥平面ADF．
∵AO?平面ADF，∴AO⊥EF，
過(guò)A作AO⊥FD于O，
∵EF、FD是平面CDFE內(nèi)的相交直線，∴AO⊥平面CDFE，
在平面CDFE內(nèi)，作OG∥EF交EC于G，則OG⊥FD，OG⊥AO
分別以O(shè)G、OD、OA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示
Rt△AOF中，AF=2，∠AF0=60°，則FO=1，OA=

3

，
∴F（0，-1，0），A（0，0，

3

），D（0，3，0），C（2，1，0）
可得

AF

=（0，-1，-

3

），

AD

=（0，3，-

3

），

CD

=（-2，2，0）
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AD =3y- 3 z=0 n • CD =-2x+2z=0

取z=

3

，得x=y=1，可得

n

=（1，1，

3

），
∵cos＜

n

，

AF

＞=

-1-3

2× 5

=-

2 5

5

，
∴設(shè)直線AF與平面ACD所成角為α，則sinα=|cos＜

n

，

AF

＞|=

2 5

5

即直線AF與平面ACD所成角的正弦值是

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面圖形的翻折，求證線面平行并在已知二面角大小的情況下求直線與平面所成角正弦值，著重考查了線面平行的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究直線與平面所成角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．