Question

11．已知函數(shù)f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；
（Ⅱ）當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式和兩角和的正弦公式對函數(shù)化簡，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+$\frac{π}{6}$的范圍，進而利用正弦函數(shù)的性質求得函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，
∵f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cos²x=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx，
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為T=π．
（Ⅱ）∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）∈（0，$\frac{3}{2}$]，
即當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求函數(shù)f（x）的值域為（0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)的圖象與性質，注意與三角函數(shù)的圖象相結合．