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12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊為a,b,c,已知2cos2A2+(cosB-3sinB)cosC=1.
(I)求角C的值.
(Ⅱ)若c=2,且△ABC的面積為3,求a,b.

分析 (I)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得-sinBsinC=-3sinBcosC,結(jié)合范圍B∈(0,π),sinB≠0,解得tanC=3,又C∈(0,π),即可求C的值.
(Ⅱ)由三角形面積公式可解得ab=4,又由余弦定理可解得a+b=4,聯(lián)立可解得a,b的值.

解答 解:(I)∵2cos2A2+(cosB-3sinB)cosC=1,
∴1+cosA+(cosB-3sinB)cosC=1,可得:-cosA=(cosB-3sinB)cosC,
∴cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=cosBcosC-3sinBcosC,可得:-sinBsinC=-3sinBcosC,
∵B∈(0,π),sinB≠0,
∴sinC=3cosC,即:tanC=3,
∵C∈(0,π),
∴C=\frac{π}{3}
(Ⅱ)∵c=2,C=\frac{π}{3},△ABC的面積為\sqrt{3}=\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}ab,
∴解得:ab=4,①
又∵由余弦定理可得:4=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-12,解得:a+b=4,②
∴①②聯(lián)立可解得:a=b=2.

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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