如圖,在正三棱柱
ABC-A1B1C1中,D是A1B1的中點,點E在A1C1上,且DE⊥AE.(Ⅰ)證明平面ADE⊥平面ACC1A1
(Ⅱ)求直線AD和平面ABC所成角的正弦值.
解: (Ⅰ)如圖所示,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C1又 DE平面A1B1C1,所以DE⊥AA1而 DE⊥AE.AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1,又DE平面ADE,故平面ADE⊥平面ACC1A1.(Ⅱ)解法1:如圖所示,設(shè)F使AB的中點,連接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)及D是A1B1的中點知A1B1⊥C1D,A1B1⊥DF 又 C1D∩DF=D,所以A1B1⊥平面C1DF,而 AB∥A1B1,所以AB⊥平面C1DF,又AB平面ABC,故 平面 ABC1⊥平面C1DF.過點 D做DH垂直C1F于點H,則DH⊥平面ABC1.連接 AH,則∠HAD是AD和平面ABC1所成的角.由已知 AB=AA1,不妨設(shè)AA1=,則AB=2,DF=,DC1=,C1F=,AD==,DH==-, 所以 sin∠HAD==.即直線 AD和平面ABC1所成角的正弦值為.解法 2:如圖所示,設(shè)O使AC的中點,以 O為原點建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AA1=,則AB=2,相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是
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A、
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B、
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C、
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D、1 |
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