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20.如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AE=1,AB=2,CD=3,E,F(xiàn)分別為AB,CD上的點(diǎn),以EF為軸將正方形ADFE向上翻折,使平面ADFE與平面BEFC垂直如圖2.
(1)求證:平面BDF⊥平面BCD;
(2)求多面體AEBDFC的體積.

分析 (1)證明BC⊥BF.推出平面ADFE⊥平面BEFC,說明DF⊥BC,然后證明平面BDF⊥平面BCD.
(2)多面體AEBDFC可分為四棱錐B-AEFD和三棱錐B-DFC,利用幾何體的體積公式求解即可.

解答 解:(1)由題可知,FB=BC=\sqrt{2},F(xiàn)C=2
∴BC⊥BF.又∵DF⊥EF,平面ADFE⊥平面BEFC,
∴DF⊥平面BEFC,
∴DF⊥BC,
∴BC⊥平面BDF,
∴平面BDF⊥平面BCD.

(2)多面體AEBDFC可分為四棱錐B-AEFD和三棱錐B-DFC
,{V_{四棱錐B-AEFD}}=\frac{1}{3}•{S_{正方圖AEFD}}•EB=\frac{1}{3},{V_{三棱錐B-DFC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}DF•FC•EF=\frac{1}{3},
則多面體AEBDFC的體積為\frac{2}{3}

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及幾何體的體積的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊系列答案
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13.如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線,交AB的延長線于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作AC的垂線,交AD的延長線于點(diǎn)E.
(Ⅰ)求證:△CDE為等腰三角形;
(Ⅱ)若AD=2,\frac{BC}{CE}=\frac{1}{2},求⊙O的面積.

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14.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合,若曲線C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.(α是參數(shù)),直線l的極坐標(biāo)方程為\sqrt{2}ρsin(θ-\frac{π}{4})=1.
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
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