設(shè)函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+a
（I）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為
3
2
，解不等式f（x）＞1．
分析：由正余弦的倍角公式及正弦的和角公式把函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（I）由y=Asin（ωx+φ）+B的性質(zhì)易于解決；
（II）當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時，先表示出f（x）的最值，再解得a，最后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象解得答案．
解答：解：f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+a
=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a
=sin（2x+
π
6
）+a+
1
2

（I）所以T=
2π
2
=π．
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+ 2kπ，得
π
6
+kπ≤x≤
2π
3
+ kπ．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[
π
6
+kπ ，
2π
3
+ kπ]（k∈Z）．
（II）因為-
π
6
≤x≤
π
3
，所以-
π
6
≤2x+
π
6
≤
5π
6
，
所以-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1．
當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時，f（x）max+f（x）min=（1+a+
1
2
）+（-
1
2
+a+
1
2
）=
3
2
，
解得a=0，所以f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
．
由f（x）＞1得，sin(2x+
π
6
)＞
1
2

所以2x+
π
6
∈(2kπ+
π
6
，2kπ+
5π
6
)
解得x∈(kπ，kπ+
π
3
)．
點評：本題考查倍角公式、和角公式及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的性質(zhì)，同時考查轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（2x+
π
3
），給出四個命題：①它的周期是π；②它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對稱；③它的圖象關(guān)于點（
π
3
，0）成中心對稱；④它在區(qū)間[-
5π
12
，
π
12
]上是增函數(shù)．其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1，其中θ∈[0，
5π
6
]，則導(dǎo)數(shù)f′（-1）的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+
π
4
）（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以
2π
3
為最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（
2
3
a+
π
12
）=
12
5
，求sinα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（2x+
π
3
），給出四個命題：①它的周期是2π；②它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對稱；③它的圖象關(guān)于點（-
π
3
，0）成中心對稱；④它在區(qū)間[-
5π
12
，
π
12
]上是增函數(shù)．其中正確命題的序號是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=
π
8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時求y=f（x）的值域．

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