Question

13．已知f（x）=$\frac{2（x-a）}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式2m-1＞f（x）有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用函數(shù)是奇函數(shù)，得到f（x）+f（-x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）利用2m-1＞f（x）有解，推出2m-1＞f（x）_min即可，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，求解即可．

解答 解：（I）∵$f（x）=\frac{2（x-a）}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函數(shù)，∴f（x）+f（-x）=0恒成立…（1分）
∴（a+b）x²+a=0恒成立，∴a=0，b=0…（3分）
∴$f（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，$f'（x）=\frac{2（1-x）（1+x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$…（4分）
由f'（x）＞0，得-1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜-1          …（5分）
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）…（6分）．
（II）∵2m-1＞f（x）有解，∴2m-1＞f（x）_min即可               …（7分）
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0…（8分）
由（I）知f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，0）上為增函數(shù)
∴f（x）_min=f（-1）=-1…（10分）
∴2m-1＞-1，∴m＞0                                    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．