Question

6．（1）函數(shù)f（x）=sinx•cos$\frac{x}{2}$，g（x）=cosx•sin$\frac{x}{2}$，那么[$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{4}π$]是函數(shù)f（x）-g（x）的一個單調(diào)減區(qū)間；
（2）對于f（x）=sinx，若α為第一象限角，則f（α）+f（$\frac{π}{2}$-α）＞1；
（3）曲線y=cos（2x-$\frac{π}{6}$）的一條對稱軸方程是x=-$\frac{2}{3}$π；
（4）函數(shù)y=sin⁴x+cos²x的最小正周期是π；
（5）函數(shù)y=tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）圖象的一個對稱中心是（$\frac{5}{3}$π，0）．
其中正確命題的序號是（2）（4）（5）．（將你認為正確的都填上）

Answer 1

分析 化簡函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=2sin$\frac{x}{2}$cos²$\frac{x}{2}$-（cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$）sin$\frac{x}{2}$=cos²$\frac{x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+sin³$\frac{x}{2}$=sin$\frac{x}{2}$．
當x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{4}π$]時，$\frac{x}{2}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]⊆[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）-g（x）在[$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{4}π$]上單調(diào)遞增，故（1）錯誤．
（2）f（α）+f（$\frac{π}{2}-α$）=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）．
當α是第一象限角時，2kπ$＜α＜\frac{π}{2}+2kπ$，∴$\frac{π}{4}+2kπ＜$$α+\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}+2kπ$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜$sin（$α+\frac{π}{4}$）≤1．∴1＜$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$．故（2）正確．
（3）當x=-$\frac{2π}{3}$時cos（2x-$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{3π}{2}$=0，
∴f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）不關(guān)于直線x=-$\frac{2π}{3}$對稱，故（3）錯誤．
（4）函數(shù)y=sin⁴x+cos²x=sin⁴x-sin²x+1，令t=sin²x，則y=t²-t+1．
∵t=sin²x的最小正周期是π，∴y=sin⁴x+cos²x的周期為π，故（4）正確．
（5）當x=$\frac{5π}{3}$時，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，（$\frac{5}{3}$π，0）是y=tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）圖象的一個對稱中心，故（5）正確．
故答案為（2）（4）（5）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．