Question

9．設(shè)$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，…，\overrightarrow{a_n}，…$是一組向量，若$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（-2015，-12），且$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=（1，1），n∈N^*，且n≥2，則其中模最小的一個(gè)向量的序號(hào)n=1014或1015．

Answer 1

分析 根據(jù)向量之間的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出向量的通項(xiàng)公式，求出向量的模長(zhǎng)，結(jié)合一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，…，\overrightarrow{a_n}，…$是按先后順序排列的一列向量，
且若$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（-2015，-12），$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=（1，1）$，
∴$\overrightarrow{{a}_{n}}=\overrightarrow{{a}_{n-1}}$+（1，1），
即（x_n，y_n）=（x_n-1，y_n-1）+（1，1）
=（x_n-1+1，y_n-1+1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}={x}_{n-1}+1}\\{{y}_{n}={y}_{n-1}+1}\end{array}\right.$，
∴x_n=x₁+（n-1）×1=n-1-2015=n-2016，y_n=y₁+（n-1）×1=n-1-12=n-13，
即a_n=（n-2016，n-13），
則|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{{y}_{n}}^{2}}$=$\sqrt{（n-2016）^{2}+（n-13）^{2}}$=$\sqrt{2{n}^{2}-4058n+201{6}^{2}+1{3}^{2}}$；
∵n=$\frac{4058}{2×2}$=1014.5，
∴當(dāng)n=1014或1015時(shí)，其模最小．
故答案為：1014或1015

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量模長(zhǎng)的計(jì)算，利用等差數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．