Question

【題目】設(shè)橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為.

(Ⅰ)若.

(i)求橢圓的離心率;

(ii)設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)由橢圓上不同三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形，當(dāng)時(shí)，若以為直角頂點(diǎn)的橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(i);(ii);(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)(i)由勾股定理化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得橢圓的離心率;(ii)易知，故橢圓:，求出直線方程為:，聯(lián)立直線與橢圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出，則，得到，進(jìn)而得出橢圓方程;

(Ⅱ)設(shè)橢圓內(nèi)接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，設(shè)，，顯然，不與坐標(biāo)軸平行，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出，同理得出，化簡(jiǎn)可得出關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，，且都不為1，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化求解即可.

(Ⅰ)(i)可知，，，

∵，∴，

∴.

∴.

(ii)由(i)知，，

∴橢圓:，

可知直線斜率為1，，，

則直線方程為:，

由，得，

得，，∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴橢圓的方程為:.

(Ⅱ)時(shí)，橢圓:，，

設(shè)橢圓內(nèi)接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，

設(shè)，，顯然，不與坐標(biāo)軸平行，且，

所以不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

由，消去得到，

所以，，

求得，

同理可求.

因?yàn)?/span>為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以，

所以，

整理得，

所以，

所以或，

所以或，

設(shè)，因?yàn)橐?/span>為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形恰有三個(gè)，

所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，，且都不為1.

∵，

所以，

解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.