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已知△ABC的三個角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知△ABC周長為6，|
BC
|，|
CA
|，|
AB
|成等比數列．
求：
（1）∠B的取值范圍；
（2）邊b的取值范圍；
（3）
BA
•
BC
的最小值．
分析：（1）利用△ABC周長為6，|
BC
|，|
CA
|，|
AB
|成等比數列，結合余弦定理，可求∠B的取值范圍；
（2）利用基本不等式，確定b的范圍，再利用三角形的周長為6，|
BC
|，|
CA
|，|
AB
|成等比數列，可得不等式，從而確定b的取值范圍；
（3）利用向量的數量積公式，及三角形的周長，結合b的范圍，即可求得
BA
•
BC
的最小值．
解答：解：（1）設|
BC
|，|
CA
|，|
AB
|依次為a，b，c，則a+b+c=6，b2=ac，
由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，故有0＜B≤
π
3
，
（2）b=
ac
≤
a+c
2
=
6-b
2
，從而0＜b≤2
∵△ABC三邊依次為a，b，c，∴（a-c）2＜b2，
∵a+b+c=6，b2=ac
∴b2＞（a+c）2-4ac，∴b2+3b-9＞0，∴b＞
-3+3
5
2
，∴
-3+3
5
2
＜b≤2
（3）
BA
•
BC
=accosB=
a2+c2-b2
2
=
(a+c)2-2ac-b2
2
=
(6-b)2-3b2
2
=-(b+3)2+27
∵
-3+3
5
2
＜b≤2，
∴b=2時，
BA
•
BC
的最小值為2．
點評：本題考查數列知識，考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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sinA+sinC
a+c
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3
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π
4
]上的最大值．

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m
=(sin(A+
π
2
)，2sin2
C
2
)，
n
=(a，c)，
m
•
n
=c，且A≠C，
（1）求角B；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

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