一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別寫有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字,現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次,正四面體下底面上的數(shù)字分別為x1、x2,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1-3,x2-3),記ξ=|
OP
|2

(Ⅰ)分別求出ξ取得最大值和最小值時(shí)的概率;
(Ⅱ)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
分析:(Ⅰ)擲出點(diǎn)數(shù)x可以是:1、2、3、4,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2.則(x-3)2的所有取值分別為:0、1、4.因此ξ的所有取值為:0、1、2、4、5、8.由此能夠求出ξ取得最大值和最小值時(shí)的概率.
(Ⅱ)由ξ的所有取值為:0、1、2、4、5、8.且P(ξ=0)=P(ξ=8)=
1
16
P(ξ=1)=
4
16
;P(ξ=2)=
4
16
;P(ξ=4)=
2
16
;P(ξ=5)=
4
16
.能求出ξ的分布列ξ的期望.
解答:解:(Ⅰ)擲出點(diǎn)數(shù)x可以是:1、2、3、4,ξ=(x1-3)2+(x2-3)2
則x-(3分)別得:-2、-1、0、1,
于是(x-3)2的所有取值分別為:0、1、4.
因此ξ的所有取值為:0、1、2、4、5、8.
當(dāng)x1=x2=1時(shí),ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最大值8,
P(ξ=8)=
1
4
×
1
4
=
1
16

當(dāng)x1=x2=3時(shí),ξ=(x1-3)2+(x2-3)2可取得最小值0,
P(ξ=0)=
1
4
×
1
4
=
1
16

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ξ的所有取值為:0、1、2、4、5、8.
P(ξ=0)=P(ξ=8)=
1
16

;P(ξ=1)=
4
16
;
P(ξ=2)=
4
16
;
P(ξ=4)=
2
16

P(ξ=5)=
4
16

所以ξ的分布列為:
ξ 0 1 2 4 5 8
P
1
16
1
4
1
4
1
8
1
4
1
16
即ξ的期望Eξ=0×
1
16
+1×
1
4
+2×
1
4
+4×
1
8
+5×
1
4
+8×
1
16
=3
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),是高考的重點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固.
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(1)分別求出ξ取得最大值和最小值時(shí)的概率;
(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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