【題目】在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥CD,BC⊥平面PAB,且E,M,N分別為PD,CD,AD的中點(diǎn), =3

(1)證明:PB∥平面FMN;
(2)若PA=AB,求二面角E﹣AC﹣B的余弦值.

【答案】
(1)證明:連結(jié)BD,分別交AC、MN于點(diǎn)O,G,連結(jié)EO、FG,

∵O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn),∴EO∥PB,

=3 ,∴F為ED中點(diǎn),又CM=MD,AN=DN,∴G為OD的中點(diǎn),

∴FG∥EO,∴PB∥FG,

∵FG平面FMN,PB平面FMN,

∴PB∥平面FMN.


(2)解:∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA,又PA⊥CD,BC∩CD=C,

∴PA⊥平面ABCD,

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PA=AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1),

=(2,2,0), =(0,1,1),

平面ABCD的一個(gè)向向量 =(0,0,1),

設(shè)平面AEC的法向量為 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,﹣1,1),

∴cos< , >= =

由圖知二面角E﹣AC﹣B為鈍角,

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值為﹣


【解析】(1)連結(jié)BD,分別交AC、MN于點(diǎn)O,G,連結(jié)EO、FG,推導(dǎo)出EO∥PB,F(xiàn)G∥EO,PB∥FG,由此能證明PB∥平面FMN.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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A.關(guān)于直線x= 對(duì)稱
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex
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第二車間

第三車間

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100

y

男工

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z

已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名,抽到第二車間男工的可能性是0. 15.

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