Question

數(shù)列{a_n}對(duì)一切自然數(shù)n都滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=9-6n
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若b_n=an|sin

nπ

2

|，求證：b₁+b₂+…+b_2n-1＞1．

Answer 1

分析：（1）先用賦值法猜出a_n的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（2）由a_n與b_n的關(guān)系得出b_n的通項(xiàng)公式．再利用|sin

nπ

2

|的特點(diǎn)將問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而解決問題．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=9-6×1=3；當(dāng)n=2時(shí)，a₁+2a₂=9-6×2=-3解得：a₂=-3；
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+2a₂+2²a₃=9-6×3=-9解得：a₃=-

3

2

；
當(dāng)n=4時(shí)，a₁+2a₂+2²a₃+2³a₄=9-6×4=-15解得：a₄=-

3

4

…
猜想：an=

3 n=1 (-3)•( 1 2 )n-2 n≥2

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=2時(shí)，a2=(-3)•(

1

2

)(2-2)=-3猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)猜想成立，則a₁+2a₂+2²a₃+…+2^k-1a_k=9-6k；
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^k-1a_k+2^ka_k+1=
9-6k+2kak+1=9-6k+2k•(-3)•(

1

2

)(k+1)-2=9-6k-6=9-6（k+1）
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立．
由①②可知：當(dāng)n≥2時(shí)猜想成立．
∴an=

3 n=1 (-3)•( 1 2 )n-2 n≥2

（2）由（1）知：bn=

3 n=1 (-3)•( 1 2 )n-2|sin nπ 2 n≥2

∴①當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3＞1滿足題意．
  ②當(dāng)n≥2時(shí)，b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1=3+(-3)•[(

1

2

)1+(

1

2

)3+(

1

2

)5+…+(

1

2

)2n-3]
=3+(-3)•

1 2 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=3+2•[(

1

4

)n-1-1]=1+2•(

1

4

)n-1
又∵(

1

4

)n-1＞0 (n≥2)
∴1+2•(

1

4

)n-1＞1
綜上所述：b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問題．在解題的過程中會(huì)用賦值--猜想--證明的方法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式．能利用題目所給條件|sin

nπ

2

|的特點(diǎn)將問題簡(jiǎn)化．