Question

11．已知參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a（1-{t}^{2}）}{1+{t}^{2}}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}}\end{array}\right.$（a∈R，t為參數(shù)）表示離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C，直線l經(jīng)過C的右焦點F₂，且與C交于M、N兩點．
（1）求a的值；
（2）求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$=cosθ，$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$=sinθ，求出橢圓的普通方程，根據(jù)離心率列方程解出a；
（2）求出直線l的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$關(guān)于參數(shù)α的函數(shù)，求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）令$\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$=cosθ，$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$=sinθ，則橢圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
∴橢圓的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且焦點在x軸上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞3}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{|a|}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=±2．
（2）橢圓的右焦點F₂（1，0）．
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
把直線l的參數(shù)方程代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得：（3+sin²α）t²+6cosα•t-9=0．
∴t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=|t₁||t₂|cos180°=-|t₁t₂|=t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴當(dāng)sin²α=0時，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$取得最小值-3，當(dāng)sin²α=1時，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$取得最大值-$\frac{9}{4}$．
故$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍是[-3，-$\frac{9}{4}$]．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．