Question

袋中裝有7個(gè)紅球和8個(gè)黑球，一次取4個(gè)球．
（Ⅰ）求取出的4個(gè)球同色的概率；
（Ⅱ）設(shè)取出黑球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用古典概率計(jì)算公式結(jié)合排列組合的性質(zhì)能求出取出的4個(gè)球同色的概率．
（Ⅱ）依題意知ξ=0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）若取出的4個(gè)球都是紅色，共有

C

4 7

=35種情形，
若取出的4個(gè)球都是黑色，共有

C

4 8

=70種情形，
故取出的4個(gè)球同色的概率為

C 4 7 +C 4 8

C 4 15

=

1

13

．…（6分）
（Ⅱ）依題意知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 0 8 C 4 7

C 4 15

=

1

39

，
P（ξ=1）=

C 1 8 C 3 7

C 4 15

=

8

39

，
P（ξ=2）=

C 2 8 C 2 7

C 4 15

=

28

65

，
P（ξ=3）=

C 3 8 C 1 7

C 4 15

=

56

195

，
P（ξ=4）=

C 4 8 C 0 7

C 4 15

=

2

39

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 39	8 39	28 65	56 195	2 39

∴Eξ=0×

1

39

+1×

8

39

+2×

28

65

+3×

56

195

+4×

2

39

=

32

15

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．