Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于

2 5

5

，一條準(zhǔn)線方程為x=

5

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在該橢圓C上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若

PF1

+

PF2

與向量（5，1）共線，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)準(zhǔn)線方程和離心率求得a和c的關(guān)系，聯(lián)立方程求得a和b，則橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)F₁和F₂，表示出

PF1

+

PF 2

，利用題設(shè)條件求得x和y的關(guān)系，代入橢圓方程求得y，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
依題意可知

a2 c =  5 2 c a = 2 5 5

，求得a=

5

，b=1
∴橢圓的方程為

x2

5

+y2=1，
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），
∵F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴

PF1

+

PF 2

=（-2x，-2y）
∵

PF1

+

PF2

與向量（5，1）共線，
∴x=5y，由

x2

5

+y2=1，求得y=±

6

6

故點(diǎn)P（

5 6

6

，

6

，6

），（-

5 6

6

，-

6

，6

）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．