Question

17．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，A、B$，分別是橢圓的左、右頂點，點P是橢圓上的一點，直線PA、PB的傾斜角分別為α、β滿足tanα+tanβ=1，則直線PA的斜率為$\frac{{1±\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a=2b，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，整理得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，則tanα=$\frac{y}{x+a}$，tanβ=$\frac{y}{x-a}$，tanα•tanβ=$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x²-x-$\frac{1}{4}$=0的兩個根，x=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，則tanα=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，即可求得直線PA的斜率．

解答 解：由題意可知：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理得：a=2b，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
∴y²=$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{4}$，則$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
直線PA、PB的傾斜角分別為α、β，
∴k_PA=tanα=$\frac{y}{x+a}$，k_PB=tanβ=$\frac{y}{x-a}$，
∴tanα•tanβ=$\frac{y}{x+a}$•$\frac{y}{x-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
直線PA、PB的傾斜角分別為α、β滿足tanα+tanβ=1，
∴tanα，tanβ是方程x²-x-$\frac{1}{4}$=0的兩個根，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
∴直線PA的斜率k_PA=tanα=$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{1±\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查直線的斜率公式，直線斜率與傾斜角的關系，考查計算能力，屬于中檔題．