Question

【題目】定義：若數(shù)列滿足，存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，都有，則稱數(shù)列有上界，是數(shù)列的一個(gè)上界，已知定理：?jiǎn)握{(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂（即極限存在）.

（1）數(shù)列是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若非負(fù)數(shù)列滿足，（），求證：1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界，且數(shù)列的極限存在，并求其極限；

（3）若正項(xiàng)遞增數(shù)列無(wú)上界，證明：存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

Answer 1

【答案】（1）存在，1；（2）見(jiàn)解析，極限1；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）確定，得到上界的最小值.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明數(shù)列單調(diào)遞增，得到極限存在，最后計(jì)算極限.

（3）假設(shè)結(jié)論不成立，取，，推出矛盾，得到證明.

（1）易知：，

數(shù)列存在上界，上界中的最小值為1

（2）非負(fù)數(shù)列，先證明

當(dāng)時(shí)：成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即

當(dāng)時(shí)：

即也成立

所以恒成立，1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界，得證.

數(shù)列單調(diào)遞增

故數(shù)列的極限存在

設(shè)

（3）證明：假設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒有.

取滿足正項(xiàng)遞增數(shù)列無(wú)上界.

取，當(dāng)時(shí)，

這與題設(shè)矛盾

假設(shè)不成立

故存在，當(dāng)時(shí)，恒有.