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12.已知向量a=(3sinx,-1),=(cosx,m),m∈R
(1)若m=tan\frac{10π}{3},且\overrightarrow{a}\overrightarrow,求cos2x-sin2x的值;
(2)將函數(shù)f(x)=2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•\overrightarrow-2m2-1的圖象向右平移\frac{π}{6}個單位得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在[0,\frac{π}{2}]上有零點,求m的取值范圍.

分析 (1)利用誘導(dǎo)公式可求m,利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求tanx,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡求值.
(2)由平面向量數(shù)量積的運算和三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)f(x)的解析式,利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換可求g(x),根據(jù)x的范圍,可求2sin(2x-\frac{π}{6})的范圍,令g(x)=0即可解得m的取值范圍.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵m=\sqrt{3}\overrightarrow{a}\overrightarrow,…(1分)
∴3sinx+cosx=0,得tanx=-\frac{1}{3},…(3分)
∴cos2x-sin2x=\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}=\frac{1-2tanx}{1+ta{n}^{2}x}=\frac{3}{2}…(5分)
(2)∵f(x)=2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•\overrightarrow-2m2-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x-2m-1
=\sqrt{3}sin2x+cos2x-2m=2sin(2x+\frac{π}{6})-2m,…(7分)
∴g(x)=2sin(2x-\frac{π}{3}+\frac{π}{6})-2m=2sin(2x-\frac{π}{6})-2m,…(8分)
∵x∈[0,\frac{π}{2}],
∴2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6},\frac{5π}{6}],則2sin(2x-\frac{π}{6})∈[-1,2],…(10分)
令g(x)=0,可得2m=2sin(2x-\frac{π}{6}),
∴2m∈[-1,2],…(11分)
∴m的取值范圍是[-\frac{1}{2},1]…(12分)

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,平面向量的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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