Question

已知正方形ABCD,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,如圖2-2-5所示,記二面角A-DE-C的大小為θ(0＜θ＜π).

(1)證明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD為正三角形,試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論,并求角θ的余弦值.

             

                    圖2-2-4                         圖2-2-5

Answer 1

思路分析:本小題考查空間中的線面關(guān)系,解三角形等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和思維能力.

(1)證明:E,F分別為正方形ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn),

∴EB∥FD,且EB=FD,

∴四邊形EBFD為平行四邊形.∴BF∥ED.

∵ED平面AED，而BF平面ADE.∴BF∥平面ADE.

(2)解法一:

點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

過點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD.

∵△ACD為正三角形,

∴AC=AD.∴CG=GD.

∵G在CD的垂直平分線上,

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AH⊥DE,所以∠AHD為二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

即△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AE·AD.

∴AH=a.∴GH=.

∴cosθ=.

解法二:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)A作AG′⊥EF,垂足為G′.

∵△ACD為正三角形,F為CD的中點(diǎn),∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF,∴AG′⊥CD.

又AG′⊥EF且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,

∴AG′⊥平面BCDE.∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G,

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上.

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AH⊥DE,所以∠AHD為二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

即△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AE·AD,∴AH=a.

∴GH=.∴cosθ=.

解法三:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)A作AG′⊥EF,垂足為G′.

∵△ACD為正三角形,F為CD的中點(diǎn),

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.∴CD平面BCDE.∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,

∴AG′⊥平面BCDE.∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G,

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上.

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則AH⊥DE,所以∠AHD為二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

即△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AE·AD,∴AH=a.

∴GH=.∴cosθ=.