Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+nx+m，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，則m+n的取值范圍是[0，4）．

Answer 1

分析 由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得f（0）=0，從而求得m=0；從而化簡(jiǎn)f（f（x））=（x²+nx）（x²+nx+n）=0，從而討論求得．

解答 解：設(shè)x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x₁）=f（f（x₁））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x²+nx，
f（f（x））=（x²+nx）（x²+nx+n）=0，
當(dāng)n=0時(shí)，成立；
當(dāng)n≠0時(shí)，0，-n不是x²+nx+n=0的根，
故△=n²-4n＜0，
故0＜n＜4；
綜上所述，0≤n+m＜4；
故答案為：[0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與集合的關(guān)系應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的根的判斷，屬于中檔題．