已知正項數(shù)列{a
n}的前n項和為S
n，且S
n=（
）
2+
．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）若T
n=
+
+
+…+
，求證：T
n＜
+1．
考點：數(shù)列的求和
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由S
n=（
）
2+
，得4S
n=a
n2+2a
n，由此推導(dǎo)出a
n+1-a
n-2=0，從而能求出a
n=2n，n∈N
*．
（2）由
=
=1+
=1+
-，利用分組求和法和裂項求和法能證明T
n＜
+1．
解答：
解：（1）∵S
n=（
）
2+
，
∴4S
n=a
n2+2a
n，4S
n+1=a
n+12+2a
n+14S
n+1-4S
n=4a
n+1=a
n+12-a
n2+2a
n+1-2a
n（a
n+1+a
n）（a
n+1-a
n）-2（a
n+1+a
n）=0
（a
n+1+a
n）（a
n+1-a
n-2）=0
∵{a
n}是正項數(shù)列，∴a
n+1-a
n-2=0，
又∵a
1=S
1=
+，解得a
1=2，或a
1=0，（舍）．
∴數(shù)列{a
n}是首項為2、公差為2的等差數(shù)列，
∴a
n=2n，n∈N
*．
（2）∵
=
=1+
=1+
-，
∴T
n=n+（1-
+
-+…+
-）
=n+1-
＜n+1
=
+1．
∴T
n＜
+1．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法和分組求和法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
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已知向量
=（1，k），
=（2，k-3），且
∥
，則k的值為（ ）
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已知直線x+y+a=0與圓C：x2+y2+2x-4y-4=0的兩個交點分別為A、B，坐標(biāo)原點為O，且OA⊥OB，求實數(shù)a的值．
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設(shè){a
n}是等差數(shù)列，{b
n}是等比數(shù)列，且a
1=b
1=1，a
2+b
2=5，a
3+b
3=9．
（1）求{a
n}、{b
n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
}的前n項和S
n．
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科目：高中數(shù)學(xué)
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已知三角形的三個頂點是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．
（1）求AB邊上的高所在直線的方程；
（2）求AC邊上的中線所在直線的方程．
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已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x
2-ax+a=0（a∈R）的兩個根．
（1）求cos
3（
-θ）+sin
3（
-θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
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題型：
已知矩陣M=
，記繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)
的變換所對應(yīng)的矩陣為N．
（Ⅰ）求矩陣N；
（Ⅱ）若曲線C：xy=1在矩陣MN對應(yīng)變換作用下得到曲線C′，求曲線C′的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知橢圓
+
=1（a＞b＞0）和圓O：x
2+y
2=b
2．
（1）若橢圓上存在一點P，過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使∠APB=90°，求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)橢圓的離心率e取第（1）問中的最小值，且橢圓的一條準(zhǔn)線方程為x=2時，作一直線l與圓O相切，且交橢圓于M，N兩點，A
1，A
2是x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，B
1，B
2是y軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若
•
+
•
=0，求|A
1B
1|的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖，多面體ABCD-EFG中，底面ABCD為正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖：
（1）求證：平面AEFC⊥平面BDG；
（2）求該幾何體的體積；
（3）求點C到平面BDG的距離．
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