Question

設(shè)數(shù)列a_n的前n項的和為S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n+1-1
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；
（3）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列b_n是等比數(shù)列且b₁=2，a₁，a₃，b₂成等比數(shù)列，T_m為b_n的前m項的和，，試比較T_m與P_m的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（1）當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1）
即（n+1）a_n+1=（n+2）a_n即（2分）
而當n=1時，2S₁=2a₂-1，
∴，（3分）
∴
而當n=1時，a₁=1符合上式，綜上（4分）
（2）證明：由（1），
∴
∴（6分）
∴
∴
∴當n≥2時
∴是以2為首項為公比的等比數(shù)列..（8分）
（3）由（1）a₃=2
∵a₁，a₃，b₂成等比數(shù)列∴a₁b₂=a₃²
∴b₂=4
∴（9分）
而由（2）
∴．（10分）
∴P_m-T_m=m•2^m-1-1-（2^m+1-2）=（m-4）•2^m-1+1
當1≤m≤3且n∈N^*時，P_m＜T_m
當m≥4且n∈N^*時，P_m＞T_m（12分）
分析：（1）當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n+1-1-（na_n-1），即，而當n=1時，2S₁=2a₂-1，，當n=1時，a₁=1符合上式，故．
（2）由，知，，，，由此能夠證明是以2為首項為公比的等比數(shù)列．
（3）由a₃=2，a₁，a₃，b₂成等比數(shù)列，知b₂=4，，由此入手能夠得到當1≤m≤3且n∈N^*時，P_m＜T_m，當m≥4且n∈N^*時，P_m＞T_m．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法、等比數(shù)列的證明和數(shù)列前m項和的比較，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件．