Question

已知f，且f（x）=
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數(shù)m的范圍；
（3）當(dāng)2≤a＜9時，設(shè)f（x）=f₂（x）所對應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=1時，根據(jù)函數(shù)f₁（x）和函數(shù)f₂（x）的解析式以及條件f（x）=可得f（x）的解析式．
（2）在（1）的條件下，由題意可得，函數(shù)y=f（x）與直線y=m有4個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)m的范圍．
（3）由于2≤a＜9，分 x≥時、當(dāng)0≤x≤時、當(dāng)x＜0時，分別由 f₂（x）-f₁（x）≤0 求得x的范圍，再把所得的x的范圍取并集，從而得到區(qū)間長度l的解析式，
再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得l的最大值．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f₁（x）=，f₂（x）=，∴當(dāng)x=log₃5時，f₁（x）=f₂（x）．
∴f（x）=．
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，則函數(shù)y=f（x）與直線y=m有4個不同的交點．
數(shù)形結(jié)合可得，0＜m＜1，故實數(shù)m的范圍是（0，1）．
（3）由于2≤a＜9，當(dāng) x≥時，∵a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（ 3^x-1）≤0 可得 x≤，
從而當(dāng)≤x≤ 時，f（x）=f₂（x）．
當(dāng)0≤x≤時，∵a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（ 3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0 解得 x≥，
從而當(dāng) ≤x≤時，f（x）=f₂（x）．
當(dāng)x＜0時，由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，故f（x）=f₂（x） 一定不成立．
綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng) x∈[，]時，有f（x）=f₂（x） 一定成立．
故 l=-=，
從而當(dāng)a=2時，l取得最大值為 ．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．