Question

已知函數(shù)f(x)=

ln(1+x)

x

．?
（1）確定y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；?
（2）設(shè)h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，有式子特點(diǎn)分析得出結(jié)論；
（2）由題意，利用式子的特點(diǎn)及函數(shù)極值的定義分析函數(shù)在定義域內(nèi)倒數(shù)的正負(fù)符號(hào)進(jìn)而求解．

解答：解：（1）由已知函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)=

x x+1 -ln(1+x)

x2

設(shè)g(x)=

x

x+1

-ln(1+x)，則g′(x)=

1

(x+1)2

-

1

x+1

=

-x

(x+1)2

＜0?
∴g（x）在（0，+∞）上遞減，g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．?
（2）由h（x）=xf（x）-x-ax³可得，h（x）=ln（1+x）-x-ax³
h′(x)=

1

x+1

-1-3ax2=

-x(3ax2+3ax+1)

x+1

?
若a≥0，任給x∈（0，+∞），

1

x+1

-1＜0，-3ax²＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，則f（x）在（0，2）無極值；?
若a＜0，h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有極值的充要條件是
φ（x）=3ax²+3ax+1在（0，2）上有零點(diǎn)，?
∴φ（0）•φ（2）＜0，解得a＜-

1

18

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-

1

18

）．

點(diǎn)評(píng)：（1）此問重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）此問重點(diǎn)考查了函數(shù)極值的概念及函數(shù)在定義域下存在極值的充要條件，在解題過程中有考查了不等式在求解是分類討論的思想．