Question

曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)A（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．則曲線C與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是    ；又已知點(diǎn)B（a，1）（a為常數(shù)），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由題意可得．對(duì)x分類(lèi)討論：①當(dāng)x＜-4時(shí)，由|x+1|＞3，無(wú)軌跡；②當(dāng)-4≤x≤-1時(shí)，化為，化為，與y軸無(wú)交點(diǎn)；③當(dāng)x＞-1時(shí)，化為，化為y²=-2x+3，，令x=0即可得出y．
（2）利用（1）畫(huà)出圖象，分類(lèi)討論求出即可．
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由題意可得，
①當(dāng)x＜-4時(shí)，∵|x+1|＞3，無(wú)軌跡；
②當(dāng)-4≤x≤-1時(shí)，化為，化為，與y軸無(wú)交點(diǎn)；
③當(dāng)x＞-1時(shí)，化為，化為y²=-2x+3，．
令x=0，解得．
綜上①②③可知：曲線C與y軸的交點(diǎn)為；
（2）由（1）可知：．
如圖所示，令y=1，則10x+15=1，或-2x+3=1，
解得x=-1.4或1．
①當(dāng)a≤-1.4或a≥1時(shí)，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；
②當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，當(dāng)直線y=1與相交時(shí)的交點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|+|PB|取得最小值，
∵此拋物線的準(zhǔn)線為x=2，∴直線y=1與準(zhǔn)線的交點(diǎn)Q（2，1），此時(shí)d（a）=|QB|=2-a；
③當(dāng)-1.4＜a≤-1時(shí)，當(dāng)直線y=1與相交時(shí)的交點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|+|PB取得最小值，
∵此拋物線的準(zhǔn)線為x=-4，∴直線y=1與準(zhǔn)線的交點(diǎn)Q（-4，1），此時(shí)d（a）=|QB|=a+4．
綜上可知：d（a）=
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了拋物線的定義、方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類(lèi)討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．