Question

已知f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調遞增函數．且滿足f（6）=1．f（x）-f（y）=f（

x

y

）（x＞0，y＞0）．則不等式f（x+3）＜f（

1

x

）+2的解集是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：先根據條件求出令x=36，y=6，得f（36）=2，再根據f（x+3）＜f（

1

x

）+2轉為為f（x+3）-f（

1

x

）=f（x（x+3））＜2=f（36），根據函數的單調性解不等式即可得

解答： 解：∵f（x）-f（y）=f（

x

y

）（x＞0，y＞0），
令x=36，y=6，得
f（36）-f（6）=f（6）
∴f（36）=2f（6）=2，
∵f（x+3）＜f（

1

x

）+2，
∴f（x+3）-f（

1

x

）=f（x（x+3））＜2=f（36），
∵f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調遞增函數，

x+3＞0 x＞0 x(x+3)＜36

∴0＜x＜

-3+3 17

2

故不等式f（x+3）＜f（

1

x

）+2的解集是（0，

-3+3 17

2

），
故答案為：（0，

-3+3 17

2

），

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、抽象函數及其應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．