Question

如圖，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，割線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF與直徑AB垂直，H為垂足，CF與AB交于點E．
（Ⅰ）求證：PA•PB=PO•PE；
（Ⅱ）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出△PDO∽△PEC，從而得到PD•PC=PO•PE，由切割線定理，得PA•PB=PD•PC，由此能證明PA•PB=PO•PE．
（Ⅱ）由圖可知，CF=CE+EF，而由垂徑定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通過證明△DHO∽△DEC，運用比例線段進行求解，至于DE，則根據(jù)題中給出的已知條件可說明三角形DHE為等腰直角三角形，而DH和HE則可通過勾股定理求出，從而求出CF的值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OD，∵AB是圓O的直徑，
弦DF與直徑AB垂直，H為垂足，C在圓O上，
∴∠DOA=∠DCF，∠POD=∠PCE，
又∵∠DPO=∠EPC，∴△PDO∽△PEC，
∴

PD

PE

=

PO

PC

，∴PD•PC=PO•PE，
由切割線定理，得PA•PB=PD•PC，
∴PA•PB=PO•PE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：AB是弦DF的垂直平分線，
∴DE=EF．∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，∴∠DEA=∠FEA=45°．∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．∴

DH

DE

=

HO

EC

．
∴

3

6

=

1

EC

．∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．

點評：本題考查線段乘積相等的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．