Question

設(shè)f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，則f₂₀₀₅（x）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：通過(guò)計(jì)算前幾項(xiàng)，進(jìn)行歸納分析，當(dāng)計(jì)算到f₄（x）時(shí)發(fā)現(xiàn)f₄（x）=f₀（x），所以可看成以4為一個(gè)循環(huán)周期，那么f₂₀₀₅（x）=f₁（x）=cosx

解答： 解：∵f₀（x）=sinx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
∴f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
∴f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
…
由引可以得出呈周期為4的規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，
∵2005=4×501+1
則f₂₀₀₅（x）=f₁（x）=cosx，
故答案為：cosx

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，求解本題的關(guān)鍵是掌握正、余弦函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及在求導(dǎo)過(guò)程中找出解析式變化的規(guī)律，歸納總結(jié)是解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的好方式．本題考查了歸納推理．