Question

（2013•�？诙�模）定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相似”的． 如圖，橢圓C₁與橢圓C₂是相似的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點．橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是4，橢圓C₂：

y2

m2

+

x2

n2

=1(m＞n＞0)短軸長是1，點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C₁的左焦點與右焦點，
（Ⅰ）求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）過F₁的直線交橢圓C₂于點M，N，求△F₂MN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C₁的半焦距為c，橢圓C₂的半焦距為c'，易知a=2，b=m，n=

1

2

，根據(jù)橢圓C₁與橢圓C₂的離心率相等，可得關(guān)于a，b，m，n的方程，解出即可；
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：x=my-

3

．與橢圓C₂的方程聯(lián)立消掉x得y的二次方程，則△＞0，由弦長公式可表示出|MN|，由點到直線的距離公式可表示出△F₂MN的高h，則△F₂MN的面積S=

1

2

|MN|•h，變形后運用基本不等式即可求得S的最大值；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C₁的半焦距為c，橢圓C₂的半焦距為c'．由已知a=2，b=m，n=

1

2

．
∵橢圓C₁與橢圓C₂的離心率相等，即

c

a

=

c′

m

，
∴

a2-b2

a2

=

m2-n2

m2

，即

1-( b a )2

=

1-( n m )2

∴

b

a

=

n

m

，即bm=b²=an=1，∴b=m=1，
∴橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1，橢圓C₂的方程是y2+

x2

1 4

=1；
（Ⅱ）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為：x=my-

3

．
聯(lián)立：

x=my- 3 y2+4x2=1

，得y2+4(my-

3

)2-1=0，即(1+4m2)y2-8

3

my+11=0，
∴△=192m²-44（1+4m²）=16m²-44＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y1+y2=

8 3 m

1+4m2

，y1y2=

11

1+4m2

，∴|MN|=2

1+m2

4m2-11

1+4m2

，
△F₂MN的高即為點F₂到直線l：x-my+

3

=0的距離h=

| 3 -0m+ 3 |

1+m2

=

2 3

1+m2

．
∴△F₂MN的面積S=

1

2

|MN|h=2

3

4m2-11

1+4m2

=

2 3

4m2-11 + 12 4m2-11

，
∵

4m2-11

+

12

4m2-11

≥2

12

=4

3

，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

4m2-11

=

12

4m2-11

，即m=±

23

2

時，
∴S≤

2 3

4 3

=

1

2

，即△F₂MN的面積的最大值為

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運算能力、分析解決問題的能力．