【題目】已知函數(shù), , ,且的最小值為.
(1)求的值;
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè)曲線與曲線交于點(diǎn),且兩曲線在點(diǎn)處的切線分別為, .試判斷, 與軸是否能圍成等腰三角形?若能,確定所圍成的等腰三角形的個(gè)數(shù);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1).(2). (3), 與軸能圍成2個(gè)等腰三角形.
【解析】試題分析:
(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可求得a=-2;
(2) 不等式即,構(gòu)造函數(shù)令,分類討論可得的取值范圍是.
(3) 設(shè), 的傾斜角分別為, ,若, 與軸所圍成的三角形是等腰三角形,則或. 分類討論: 和兩種情況可得, 與軸能圍成2個(gè)等腰三角形.
試題解析:
(1),所以,則的最小值為,
因此拋物線的對(duì)稱軸為,即,所以.
(2)由(1)知, .不等式即,
所以對(duì)任意恒成立.
令,則.
①若,則,所以函數(shù)在上單調(diào)減,
故,解得,
此時(shí)無(wú)符合題意的值; ②若,令,解得.
列表如下:
↘ | 極小值 | ↗ |
由題意,可知 解得.
故的取值范圍為.
(3)設(shè), 的傾斜角分別為, ,則, .
因?yàn)?/span>,所以, ,則, 均為銳角.
若, 與軸所圍成的三角形是等腰三角形,則或.
①當(dāng)時(shí), ,即,解得,
而,即,
整理得, ,解得.
所以存在唯一的滿足題意.
②當(dāng)時(shí),由可得,
而,即,
整理得, .
令,則.
令,解得.列表如下:
↘ | 極小值 | ↗ |
而, , ,
所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),也是上的唯一零點(diǎn).
所以存在唯一的滿足題意.
綜上所述, , 與軸能圍成2個(gè)等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài),PM2.5被認(rèn)為是造成霧霾天氣的“元兇”,PM2.5日均值越小,空氣質(zhì)量越好.國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的PM2.5日均值(微克/立方米)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如表:
PM2.5日均值 | 0﹣﹣35 | 35﹣﹣75 | 75﹣﹣115 | 115﹣﹣150 | 150﹣﹣250 | 250以上 |
空氣質(zhì)量等級(jí) | 1級(jí) | 2級(jí) | 3級(jí) | 4級(jí) | 5級(jí) | 6級(jí) |
由某市城市環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)獲得4月份某5天甲、乙兩城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù),用莖葉圖表示,如圖所示.
(1)試根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),分別寫出兩城區(qū)的PM2.5日均值的中位數(shù),并從中位數(shù)角度判斷哪個(gè)城區(qū)的空氣質(zhì)量較好?
(2)考慮用頻率估計(jì)概率的方法,試根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估計(jì)甲城區(qū)某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為3
(3)分別從甲、乙兩個(gè)城區(qū)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè),試求這兩城區(qū)空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】| |=1,| |= , =0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°,設(shè) =m +n (m、n∈R),則 等于( )
A.
B.3
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(理)如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論:
① + + + = ;
② + ﹣ ﹣ = ;
③ ﹣ + ﹣ = ;
④ = ;
⑤ =0,
其中正確結(jié)論是( )
A.①②③
B.④⑤
C.②④
D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
(1)證明:PA∥平面EDB;
(2)證明:PB⊥平面EFD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是矩形,平面 平面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, ,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)點(diǎn) 在 上,且滿足 ,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,過(guò)橢圓 右焦點(diǎn) 的直線交橢圓于兩點(diǎn) , 為 的中點(diǎn),且 的斜率為 .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線 (不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓交于 兩點(diǎn),問(wèn):在 軸上是否存在定點(diǎn) ,使得 為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x﹣4cosx.
(1)求 的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為參數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)若對(duì)任意, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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