Question

20．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題：
①在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，到點(diǎn)（-1，2）和到直線(xiàn)2x+3y-4=0距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)；
②設(shè)F₁、F₂為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=k，則P點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)；
③方程4x²-8x+3=0的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率；
④過(guò)單位圓O上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓．
其中真命題的序號(hào)為③．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①，定點(diǎn)（2，1）在定直線(xiàn)3x+4y-10=0上，到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線(xiàn)3x+4y-10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線(xiàn)．
②，利用雙曲線(xiàn)的定義，即可得出結(jié)論．
③，求出方程的兩根即可得到答案．
④，設(shè)P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得B（x-m，y-n），把B的坐標(biāo)代入圓x²+y²=1得到P的軌跡仍為圓，

解答 解：對(duì)于①，因?yàn)辄c(diǎn)（-1，2）在直線(xiàn)2x+3y-4=0上，∴到點(diǎn)（-1，2）和到直線(xiàn)2x+3y-4=0距離相等的點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)與此直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，不是拋物線(xiàn)，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，中當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線(xiàn)的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線(xiàn)，∴②錯(cuò)；
對(duì)于③，方程4x²-8x+3=0的兩根為$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$可以分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，故③正確；
對(duì)于④，設(shè)單位圓O的方程為x²+y²=1，點(diǎn)A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得B（x-m，y-n），因?yàn)锽在已知圓上，把B的坐標(biāo)代入圓x²+y²=1得到P的軌跡仍為圓，故錯(cuò)；
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題．