Question

有下列四個命題：
（1）一定存在直線l使函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數g（x）=lg（-x）+2的圖象關于直線l對稱
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]；
（3）已知數列{a_n}的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數列{a_n}一定是等比數列；
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀）．
則正確命題的序號為

（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）一定存在直線l使函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數g（x）=lg（-x）+2的圖象關于直線l對稱，可由對數函數的圖象變換進行判斷
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]，利用反三角函數的定義直接求解出符合條件的范圍，解出解集；
（3）已知數列{a_n}的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數列{a_n}一定是等比數列，可求出其通項公式對它的性質進行研究判斷其正誤；
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀），可通過解出其切數方程對比得出正誤．

解答：解：（1）一定存在直線l使函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數g（x）=lg（-x）+2的圖象關于直線l對稱，這是個錯誤命題，由于y=lgx與y=lg（-x）關于Y軸對稱，但函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數g（x）=lg（-x）+2的圖象向上平移的幅度不一樣，故它們不關于y軸對稱，由其圖形結構知找不到這樣的直線滿足題意；
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]是一個錯誤命題，因為自變量在[

2

2

，1]時，arcsinx∈[

π

4

，

π

2

]，而arccosx∈[0，

π

4

]故錯誤；
（3）已知數列{a_n}的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數列{a_n}一定是等比數列；，此命題正確，由于a_n=S_n-S_n-1=2×（-1）^n-1，當n=1時也成立，即數列的通項公式是2×（-1）^n-1，是一個等比數列．
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀）是正確命題，由于直線y₀y=p（x+x₀）過點M（x_°，y_°），且與拋物線y²=2px（p＞0）有且只有一個交點，所以此命題正確
綜上（3）（4）是正確命題，
故答案為（3）（4）

點評：本題考查命題的真真假判斷，此類題一般涉及到的知識點較多，屬于基礎概念與基本方法考查題，解題的關鍵是理解每個命題所涉及的知識與方法，由此作出正確判斷，此類題主要考查知識的記憶能力及利用知識判斷推理的能力