Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，且AB=AD=1，
BC=3，SB與平面ABCD所成的角為45°，E為SD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若F為線段BC上的一點(diǎn)且BF=

1

6

BC，求證：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面SDC的距離；
（Ⅲ）在線段 BC上是否存在一點(diǎn)G，使二面角G-SD-C的大小為arccos

6

3

？若存在，求出BG的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取SA的中點(diǎn)H，連接EH，BH，根據(jù)HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

1

2

AD可得四邊形EFBH為平行四邊形，則EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，根據(jù)線面平行的判定定理可知EF∥平面SAB．
（Ⅱ）求出面SDC的一個(gè)法向量，求點(diǎn)B到面SDC的距離實(shí)際上是求向量

BC

在面SDC的法向量上的投影的長(zhǎng)度．
（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)G（1，a，0）分別求出GSD面與面CSD的法向量，根據(jù)兩法向量的夾角與二面角G-SD-C的大小相等或互補(bǔ)的關(guān)系，列出關(guān)于a的方程，有解且0＜a＜3則存在，否則不存在．

解答：解：（Ⅰ）   取SA的中點(diǎn)H，連接EH，BH．
由HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

1

2

AD
∴HE∥BF，BF=HE，∴四邊形EFBH為平行四邊形．
∴EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．
 
  （Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD∴∠SBA是AB與平面ABCD所成的角∴∠SBA=45°SA=AB=1                                     
 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，圖所示建立直角坐標(biāo)系，

則B（1，0，0），S（0，0，1），D（0，1，0）C（1，3，0）
∴

DC

=（1，2，0）

DS

=（0．-1.1）

BC

=（0，3，0）
設(shè)

n1

=（x₁，y₁，z_1）是平SDC的法向量，則  

DC

•

n1=

 0，    

DS

 •

n1

=0
∴

x1+2y1=0 -y1+z1=0

∴

x1=-2y1 y1=z1

取

n1

=(-2，1，1)B到平SDC的距離為d=|

BC • n1

| n1 |

|=

6

2

（Ⅲ） 假設(shè)存在，設(shè)BG=a，則G（1，a，0）（0＜a＜3）∴

DG

=(1，a-1，0)
設(shè)

n2

=（x₂，y₂，z_2）是平面DGS的法向量，則

DG

•

n2=0，

     

DS

• n2

=0
∴

x2+(a-1)y2=0 -y2+z2=0

取

n2

=(1-a，1，1)
由cos(arccos

6

3

)=|

n1 • n2

|n1| • |n2 |

|，得a²=2+（1-a）²
∴a=

3

2

，故線段 BC上存在一點(diǎn)G存在G點(diǎn)滿足要求．且BG=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考直線和平面平行的判定，用向量法求點(diǎn)到平面的距離，二面角，考查學(xué)生計(jì)算能力，邏輯思維能力，方程思想，是中檔題．