Question

10．如圖四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，下列五個命題中正確的是①②
①點P與點B重合時，λ+μ=1；
②當(dāng)點P為BC的中點時，λ+μ=2；
③λ+μ的最大值為4； 
④λ+μ的最小值為-1；
⑤滿足λ+μ=1的點P有且只有一個．

Answer 1

分析 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，可以得到$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)表示，再根據(jù)相對應(yīng)的條件加以判斷即可．

解答 解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標(biāo)系如圖，
則B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
∴點P與點B重合時，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$，
此時λ=1，μ=0，λ+μ=1，①正確；
∴P是BC的中點時，$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
此時λ=$\frac{3}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$，λ+μ=2，②正確；
當(dāng)P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3，③λ+μ的最大值為4，錯誤； 
④λ+μ的最小值為-1，錯誤；
當(dāng)點P為AD中點時，$\overrightarrow{AP}$=（0，$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
此時λ=μ=$\frac{1}{2}$，λ+μ=1，結(jié)合①知，滿足λ+μ=1的點P不唯一，⑤錯誤．
綜上，正確的命題是①②．
故答案：①②．

點評 本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，是綜合性題目．