Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）證明：AB₁⊥BC₁；
（2）求點B到平面AB₁C₁的距離；
（3）求二面角C₁-AB₁-A₁的大�。�

Answer 1

證明：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其為C為坐標(biāo)原點，
題意A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）．
∵，∴∴AB₁⊥BC₁
解：（2）設(shè)的一個法向量，
由得
令
∵，∴點B到平面AB₁C₁的距離．
（3）解設(shè)是平面A₁AB₁的一個法向量
由
∴令
∵，
∴二面角C₁-AB-A₁的大小為60°．
分析：（1）以C點為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出AB₁與BC₁的方向向量，代入數(shù)量積公式，得到其數(shù)量積為0，即可得到AB₁⊥BC₁；
（2）求出平面AB₁C₁的一個法向量，則AB的方向向量，代入到公式，即可求出
點B到平面AB₁C₁的距離；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)合，再求出平面AB₁A₁的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C₁-AB₁-A₁的大小．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到面的距離，異面直線的夾角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角及向量長度問題是解答本題的關(guān)鍵．