Question

設函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）（a∈R），f（x）的兩個極值點為A（α，f（α）），B（β，f（β）），線段AB的中點為M．
（1）如果函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；當a=2時，求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心；
（2）如果M點在第四象限，求實數(shù)a的范圍；
（3）證明：點M也在函數(shù)f（x）的圖象上，且M為函數(shù)f（x）圖象的對稱中心．

Answer 1

分析：（1）【法一】取特殊值，求得a=-1，再驗證f（x）為奇函數(shù)；
【法二】利用奇函數(shù)的定義，可求a的值；當a=2時，利用圖象的變換，可得數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）圖象的對稱中心；
（2）求導數(shù)，可得α，β為3x²-2（1+a）x+a=0兩實根，再利用韋達定理確定M的坐標，利用M點在第四象限，建立不等式組，即可求實數(shù)a的范圍；
（3）證明點M也在函數(shù)f（x）的圖象上．【法一】設P（x₀，y₀）為函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，證明P（x₀，y₀）關于M的對稱點在函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）的圖象上；
【法二】利用圖象的變換證明結論即可．

解答：（1）解：【法一】因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1），得：-1•（-1-1）（-1-a）=0，∴a=-1．
當a=-1時，f（x）=x（x-1）（x+1）=x（x²-1），有f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)．…（4分）
【法二】f（x）=x³-（1+a）x²+ax，f（-x）=-f（x）恒成立，（-x）³-（1+a）x²-ax=-x³+（1+a）x²-ax，求得a=-1．
當a=2時，f（x）=x（x-1）（x-2），該圖象可由奇函數(shù)f（x）=（x+1）x（x-1）的圖象向右平移一個單位得到，可知函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）圖象的對稱中心為（1，0）．…（4分）
（2）解：∵f′（x）=3x²-2（1+a）x+a，
令f′（x）=3x²-2（1+a）x+a=0，則α，β為3x²-2（1+a）x+a=0兩實根．
∴α+β=

2(1+a)

3

，α•β=

a

3

.

f(α)+f(β)

2

=

1

2

[α3-(1+a)α2+aα+β3-(1+a)β2+aβ]
=

1

2

{(α+β)[(α+β)2-3αβ]-(a+1)[(α+β)2-2αβ]+a(α+β)}
=-

2(a+1)3

27

+

a(a+1)

3

=-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

，
∵點M(

α+β

2

，

f(α)+f(β)

2

)在第四象限，∴

△＞0 a+1＞0 (a+1)(2a-1)(a-2)＞0

∴a＞2或-1＜a＜

1

2

．…（10分）
（3）證明：由（2）得點M(

1+a

3

，-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

)，
又f(

1+a

3

)=

1+a

3

(

1+a

3

-1)(

1+a

3

-a)=

1+a

3

•

a-2

3

•

1-2a

3

=-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

，
所以點M也在函數(shù)f（x）的圖象上．…（12分）
【法一】設P（x₀，y₀）為函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，P（x₀，y₀）關于M的對稱點為Q(

2(1+a)

3

-x0，-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-y0)
而f(

2(1+a)

3

-x0)=(

2(1+a)

3

-x0)3-(1+a)(

2(1+a)

3

-x0)2+a(

2(1+a)

3

-x0)
=-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-x03+(a+1)x02-ax0=-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-y0．
即Q(

2(1+a)

3

-x0，-

2(a+1)(a-2)(2a-1)

27

-y0)在函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）的圖象上．
所以，M為函數(shù)f（x）的對稱中心．…（16分）
【法二】設g(x)=f(x+

1+a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=(x+

1+a

3

)(x+

1+a

3

-1)(x+

1+a

3

-a)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=(x+

1+a

3

)(x+

a-2

3

)(x+

1-2a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=x3+(

1+a

3

+

a-2

3

+

1-2a

3

)x2+(

1+a

3

•

a-2

3

+

a-2

3

•

1-2a

3

+

1+a

3

•

1-2a

3

)x+

1+a

3

•

a-2

3

•

1-2a

3

+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

=x3-

1

3

(a2-a+1)x．
∴g(x)=f(x+

1+a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

為奇函數(shù)，
對稱中心為O（0，0）．
把函數(shù)g(x)=f(x+

1+a

3

)+

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

的圖象按向量

OM

=(

1+a

3

，-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

)平移后得f（x）的圖象，
∴M(

1+a

3

，-

(a+1)(a-2)(2a-1)

27

)為函數(shù)f（x）的對稱中心．…（16分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與對稱性，考查導數(shù)知識的運用，考查學生的計算能力，有一定的難度．