Question

設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求滿足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和．

Answer 1

分析：f（x）為偶函數(shù)推出f（-x）=f（x），x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，推出f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：∵f（x）為偶函數(shù)，
∴（x）=f（-x）
∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
又滿足f(x)=f(

x+3

x+4

)，
∴x=

x+3

x+4

或-x=

x+3

x+4

，
可得，x²+3x-3=0或x²+5x+4=0，
∴x₁+x₂=-3，x₃+x₄=-5，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-3+（-5）=-8．

點(diǎn)評(píng)：題主要函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性與方程根的聯(lián)系，屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．