Question

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，及的部分圖象如圖所示，則（ ）

（A）當(dāng)時(shí)，取得最大值

（B）當(dāng)時(shí)，取得最大值

（C）當(dāng)時(shí)，取得最小值

（D）當(dāng)時(shí)，取得最小值

 

Answer 1

A

【解析】

試題分析：首先分析圖象中三個(gè)點(diǎn)各自的含義，若橫坐標(biāo)為的點(diǎn)表示，那么的情況分為兩種：（1），在這種情況下，根據(jù)圖象可知，必然小于，但我們可以根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)，，，等差數(shù)列為單調(diào)遞減的，說(shuō)明數(shù)列從第一項(xiàng)至第七項(xiàng)應(yīng)該都是大于的，那么前7項(xiàng)和，與圖象給出的信息矛盾，故不成立；（2），在這種情況下，根據(jù)圖象可以推理出前7項(xiàng)和，但是，，說(shuō)明數(shù)列單調(diào)遞增，且從第一項(xiàng)至第八項(xiàng)均小于，那么前7項(xiàng)和必然大于，又產(chǎn)生矛盾。說(shuō)明橫坐標(biāo)為處的點(diǎn)表示的是數(shù)列的前8項(xiàng)和，此時(shí)需要分析橫坐標(biāo)為處的兩個(gè)點(diǎn)各自的含義，若，則，說(shuō)明數(shù)列單調(diào)遞減，那么可知數(shù)列在第一項(xiàng)至第8項(xiàng)均為正數(shù)，那么，與圖象信息矛盾，故，，，可以解得，可知等差數(shù)列公差為，接下來(lái)可以有兩種基本思路去處理.

方法一：直接求解數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)公差，解得，那么可以解得前項(xiàng)和的表達(dá)式為，可知其對(duì)稱(chēng)軸，距它最近的整數(shù)為，故其在時(shí)取最大值，故選A.

方法二：從前項(xiàng)和的最值性質(zhì)可以看出，數(shù)列本身正負(fù)發(fā)生改變的地方是產(chǎn)生最值的地方，根據(jù)分析可知，，那么，，可見(jiàn)，數(shù)列從第一項(xiàng)至第四項(xiàng)均是正數(shù)，此時(shí)前項(xiàng)和越加越大，最大值在第四項(xiàng)取到，故選A.

考點(diǎn)：等差數(shù)列及其前項(xiàng)和性質(zhì).