Question

如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．

（1）求證平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（方法一：傳統(tǒng)幾何方法）（1）證明線面平行，可在平面內(nèi)找到一條線與面外的線AF平行即可，因此本小題可取CE中點(diǎn)為G，連接DG，F(xiàn)G，證明四邊形AFGD為平行四邊形即可完成證明；（2）本小題中可過(guò)點(diǎn)E作CB的平行線交BF的延長(zhǎng)線于P，連接FP,EP,AP，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系算出其余弦值.

（方法二：空間向量方法）（1）本小題可以以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AF的方向向量與平面CDE的一個(gè)法向量垂直（證它們的數(shù)量積為零），而根據(jù)題意易得這個(gè)法向量為；（2）本小題為常考的利用空間向量解決面面角問(wèn)題，只需找到這兩個(gè)面的法向量，利用公式完成計(jì)算即可，但要注意本題面面角為銳二面角.

試題解析：（方法一：）（1）取CE中點(diǎn)為G，連接DG，F(xiàn)G，

且,∴四邊形BFGC為平行四邊形，則且.

∵四邊形ABCD為矩形，∴且,∴且,

∴四邊形AFGD為平行四邊形，則

∵，,∴.

（2）過(guò)點(diǎn)E作CB的平行線交BF的延長(zhǎng)線于P，連接FP,EP,AP,

∵,∴A,P,E,D四點(diǎn)共面. 四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又，平面，，又平面平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角.

，．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（方法二：）（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又平面平面，且平面平面,∴平面,以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：

∵∴為平面的一個(gè)法向量，又∵

∴平面.

（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為則,∵

， 取，得．平面，平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則．因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：線面平行的判定定理，二面角及其平面角的定義，二面角的余弦公式，向量的數(shù)量積，空間直角坐標(biāo)系的建立及坐標(biāo)的找尋，法向量的求法.