Question

已知函數f（x）是R上周期為2的偶函數，且0≤x≤1時，f（x）=x³-

1

3

，則函數y=f（x）的圖象在區(qū)間（-2，2）上與x軸的交點的個數為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：分析0≤x≤1時，f（x）=x³-

1

3

的單調性結合零點存在定理，可得在區(qū)間[0，1]上函數存在唯一一個零點，進而結合函數的奇偶性及周期性，可得圖象在區(qū)間（-2，2）上零點個數，進而根據零點個數即為函數圖象與x軸交點個數得到答案．

解答：解：當0≤x≤1時，f（x）=x³-

1

3

為增函數，且f（0）=-

1

3

＜0，f（1）=

2

3

＞0，故在區(qū)間[0，1]上函數存在唯一一個零點；
∵函數f（x）是偶函數，故在區(qū)間[-1，0]上函數存在唯一一個零點，
又∵函數f（x）是R上周期為2的周期函數，則在一個周期上函數有2個零點
故在區(qū)間（-2，2）上函數有4個零點
即函數y=f（x）的圖象在區(qū)間（-2，2）上與x軸的交點的個數為4
故選C

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數的零點，函數的奇偶性，單調性，周期性，是函數性質與函數零點的綜合應用．