Question

已知函數(shù)．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若關(guān)于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為，所以，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，e]，單調(diào)減區(qū)間是[e，+∞），
所以當(dāng)x=e時，h（x）取得最大值；…（6分）
（2）因為xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即對一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
設(shè)，因為，
故?（x）在（0，3]上遞減，在[3，+∞）上遞增，?（x）_min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3． …（10分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求h（x）的最大值；
（2）xf（x）≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，等價于xlnx-x²≥-2x²+ax-12對一切x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．