已知雙曲線C的方程為(a>0,b>0),過(guò)右焦點(diǎn)F作雙曲線在一,三象限的漸近線的垂線l,垂足為P,l與雙曲線C的左右的交點(diǎn)分別為A,B
(1)求證:點(diǎn)P在直線上(C為半焦距).
(2)求雙曲線C的離心率e的取值范圍.
(3)若|AP|=3|PB|,求離心率.
【答案】分析:1)先設(shè)出雙曲線半焦距,求得漸近線方程,則可求得過(guò)F的垂線方程,聯(lián)立方程求得焦點(diǎn)p的橫坐標(biāo),推斷出在右準(zhǔn)線上
(2)根據(jù)直線l與雙曲線左右支均有交點(diǎn),判斷出該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l1必交于第三象限.即l1的斜率必大于l的斜率,進(jìn)而推斷出 整理后即可求得a和c的不等式關(guān)系,求得離心率的范圍.
(3)由題知P分AB所成比λ=3,利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得,,結(jié)合可求,x1,x2,由x1x2=整理可得q,b的關(guān)系,進(jìn)而可求離心率e
解答:解:(1)∵雙曲線在一,三象限的漸近線為y=,右焦點(diǎn)F(c,0)
∴所求的直線
聯(lián)立解得P的坐標(biāo)P:
所以點(diǎn)P在直線
(2)由消去y得(b4-a4)x2+2a4cx-a2(a2c2+b4)=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)∴
∴b2>a2即c2>2a2

(3)由題知P分AB所成比λ=3





化簡(jiǎn)得4a2=b2
=
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).涉及了雙曲線方程中a,b和c的關(guān)系,漸近線問(wèn)題,離心率問(wèn)題等
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C的方程為:
x2
9
-
y2
16
=1
(1)求雙曲線C的離心率;
(2)求與雙曲線C有公共的漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,2
3
)的雙曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1
(a>0,b>0),離心率e=
5
2
,頂點(diǎn)到漸近線的距離為
2
5
5
.求雙曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•嘉定區(qū)一模)已知雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1,點(diǎn)A(m,2m)和點(diǎn)B(n,-2n)(其中m和n均為正數(shù))是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),雙曲線C上的點(diǎn)P滿足
AP
=λ•
PB
(其中λ∈[
1
2
,3]).
(1)用λ的解析式表示mn;
(2)求△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),過(guò)右焦點(diǎn)F作雙曲線在一,三象限的漸近線的垂線l,垂足為P,l與雙曲線C的左右的交點(diǎn)分別為A,B
(1)求證:點(diǎn)P在直線x=
a2
c
上(C為半焦距).
(2)求雙曲線C的離心率e的取值范圍.
(3)若|AP|=3|PB|,求離心率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,它的左、右焦點(diǎn)分別F1,F(xiàn)2,左右頂點(diǎn)為A1,A2,過(guò)焦點(diǎn)F2先做其漸近線的垂線,垂足為p,再作與x軸垂直的直線與曲線C交于點(diǎn)Q,R,若PF2,A1A2,QF1依次成等差數(shù)列,則離心率e=( 。

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